Wie groß ist der Flächeninhalt?

Der 1972 geborene Schweizer Mathematiker Diego Rattaggi arbeitet als Mathematiklehrer an einem Gymnasium in Zürich. Er hat sehr viele mathematische Knobeleien entworfen und bei Twitter/X veröffentlicht. Von ihm stammt folgende Aufgabe. In einem gelben Rechteck liegen, so wie es das Bild zeigt, drei rote gleichseitige Dreiecke und vier blaue Quadrate. Die Quadrate liegen auf den Seiten oder auf den Spitzen der Dreiecke. Die drei kleinen Quadrate haben die Flächeninhalte 1, 2 und 4. Wie groß ist der Flächeninhalt des großen Quadrats? Die drei roten gleichseitigen Dreiecke haben die Seitenlängen 1, a und b und die vier blauen Quadrate die Seitenlängen 1, √2, 2 und b. Die unteren Innenwinkel der beiden grünen Dreiecke sind 60° groß. Wendet man auf das linke grüne Dreieck den Kosinussatz an, erhält man (√2)2 = 12 + a2 – 2a · cos 60° oder 2 = 1 + a2 – 2a/2, was sich zu a2 = a + 1 oder a2 – a – 1 = 0 umformen lässt. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist der goldene Schnitt a = (1 + √5)/2. Auch auf das rechte grüne Dreieck wird der Kosinussatz angewendet. Er ergibt 22 = a2 + b2 – 2ab · cos 60°. Setzt man in diese Gleichung die zuvor gefundenen Werte für a2 und danach auch für a ein, bekommt man zuerst 4 = a + 1 + b2 – ab und dann 4 = (1 + √5)/2 + 1 + b2 – (1 + √5)b/2, was sich zu b2 – 1/2(1 + √5)b + 1/2(1 + √5) – 3 = 0 umformen lässt. Die positive Lösung dieser quadratischen Gleichung ist b = √5. Das große blaue Quadrat hat folglich einen Flächeninhalt von b2 = 5. Hat Ihnen dieses Rätsel gefallen? Dann rätseln Sie doch einfach direkt weiter: - Wie lang sind die Kanten? - Wie lang ist der Radius des Kreises? - Wie man ein Sofa um die Ecke bringt - Die rätselhafte Kuppel - Wie lang ist die Sehne des Kreises? - Wie ein Polyeder eine hartnäckige Vermutung widerlegt - Wie lang sind die Seitenlängen der Quadrate? - Wie lang sind die Seiten der Quadrate in dieser Figur? - Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Quadrats? - Wie muss das Streichholz umgelegt werden? - Wie groß ist die Fläche? - Wie viele Felder werden zerstört? Eine Übersicht über alle Matherätsel finden Sie unter https://www.spektrum.de/raetsel/. Viel Spaß beim Weiterknobeln!